Valores y vectores propios: definición
Damos la definición de valor y vector propio. Valores y vectores propios 2: ejercicios
Calculamos valores y vectores propios en operadores sencillos. Valores y vectores propios 3: ejercicios
Cálculo de vectores propios usando un sistema de ecuaciones lineales. Polinomio característico
Definimos el polinomio característico de un operador, o equivalentemente, de cualquier matriz que lo represente con respecto a alguna base del espacio vectorial. Observamos que las raíces del polinomio característico son precisamente los valores propios del operador (o de la matriz). Polinomio minimal
Definimos el polinomio minimal, observamos algunas propiedades sencillas y vemos ejemplos. Diagonalizabilidad
Definimos qué significa que un operador (o una matriz) sea diagonalizable, y vemos algunos ejemplos. Teorema de Cayley-Hamilton
Enunciamos el Teorema de Cayley-Hamilton: el polinomio minimal divide al polinomio característico, o el polinomio característico anula al operador (o a la matriz). Triangulabilidad
Definimos operador (y matriz) triangulable, y vemos algunos ejemplos. Diagonalización y triangulación simultáneas
Definimos operadores simultáneamente diagonalizables y simultáneamente triangulables, y vemos condiciones para que lo sean. Pedimos al lector hacer lo mismo para matrices.
Teoría de Módulos
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Definición y ejemplos de anillos conmutativos. Ideales en anillos conmutativos
Damos la definición de ideal en un anillo conmutativo, y vemos algunos ejemplos sencillos. Homomorfismos de anillos con uno
Definición y propiedades básicas de los homorfismos de anillos con uno. Dominios enteros y divisibilidad
Definimos dominio entero y el concepto de divisibilidad en un dominio entero. Damos ejemplos sencillos. Máximo común divisor
Definimos máximo común divisor en dominios enteros, y vemos ejemplos. Elementos irreducibles y elementos primos
Definimos elementos irreducibles y elementos primos en un dominio entero. Demostramos que todo primo es irreducible. Dominios de factorización única
Definimos dominios de factorización única, damos ejemplos, y notamos que ahí siempre hay máximos comunes divisores. Dominios de ideales principales
Definimos dominios de ideales principales, damos algunos ejemplos y demostramos que los máximos comunes divisores existen y son combinaciones lineales. Dominios euclidianos
Definimos dominios euclidianos y damos algunos ejemplos. Ilustramos el uso del Algoritmo de Euclides para encontrar máximo común divisor.